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浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象 數(shù)量規(guī)律的一門學科。 第一章 概率論的基本概念 1.1 隨機試驗 1.2 樣本空間 1.3 概率和頻率 1.4 等可能概型（古典概型） 1.5 條件概率 1.6 獨立性 第二章 隨機變量及其分布 2.1 隨機變量 2.2 離散型隨機變量及其分布 2.3 隨機變量的分布函數(shù) 2.4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 2.5 隨機變量的函數(shù)的分布 第三章 多維隨機變量及其分布 3.1 二維隨機變量 3.2 邊緣分布 3.3 條件分布 3.4 相互獨立的隨機變量 3.5 兩個隨機變量的函數(shù)的分布 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 4.1 數(shù)學期望 4.2 方差 4.3 協(xié)方差及相關系數(shù) 4.4 矩、協(xié)方差矩陣 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 5.1 大數(shù)定律 5.2 中心極限定理 第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 6.1 總體和樣本 6.2 常用的分布 第七章 參數(shù)估計 7.1 參數(shù)的點估計 7.2 估計量的評選標準 7.3 區(qū)間估計 第八章 假設檢驗 8.1 假設檢驗 8.2 正態(tài)總體均值的假設檢驗 8.3 正態(tài)總體方差的假設檢驗 8.4 置信區(qū)間與假設檢驗之間的關系 8.5 樣本容量的選取 8.6 分布擬合檢驗 8.7 秩和檢驗 第九章 方差分析及回歸分析 9.1 單因素試驗的方差分析 9.2 雙因素試驗的方差分析 9.3 一元線性回歸 9.4 多元線性回歸 第十章 隨機過程及其統(tǒng)計描述 10.1 隨機過程的概念 10.2 隨機過程的統(tǒng)計描述 10.3 泊松過程及維納過程 第十一章 馬爾可夫鏈 11.1 馬爾可夫過程及其概率分布 11.2 多步轉移概率的確定 11.3 遍歷性 第十二章 平穩(wěn)隨機過程 12.1 平穩(wěn)隨機過程的概念 12.2 各態(tài)歷經(jīng)性 12.3 相關函數(shù)的性質 12.4 平穩(wěn)過程的功率譜密度 概 率 論 第一章 概率論的基本概念 關鍵詞： 樣本空間 隨機事件 頻率和概率 條件概率 事件的獨立性 §1 隨機試驗 確定性現(xiàn)象：結果確定 不確定性現(xiàn)象：結果不確定 概率統(tǒng)計中研究的對象：隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律 對隨機現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗統(tǒng)稱為隨機試驗。 它具有以下特性： 可以在相同條件下重復進行 事先知道可能出現(xiàn)的結果 進行試驗前并不知道哪個試驗結果會發(fā)生 §2 樣本空間·隨機事件 (一)樣本空間 定義：隨機試驗E的所有結果構成的集合稱為E的 樣本空間，記為S={e}， 稱S中的元素e為基本事件或樣本點． (二) 隨機事件 一般我們稱S的子集A為E的隨機事件A，當且僅當A所包含的一個樣本點發(fā)生稱事件A發(fā)生。 (三) 事件的關系及運算 事件的關系（包含、相等） 例： 記A={明天天晴}，B={明天無雨} 記A={至少有10人候車}，B={至少有5人候車} 一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面} 事件的運算 “和”、“交”關系式 §3 頻率與概率 (一)頻率 定義：記 其中 —A發(fā)生的次數(shù)(頻數(shù))；n—總試驗次 數(shù)。稱 為A在這n次試驗中發(fā)生的頻率。 例： 中國國家足球隊，“沖擊亞洲”共進行了n次，其中成功了一次，則在這n次試驗中“沖擊亞洲”這事件發(fā)生的頻率為 某人一共聽了17次“概率統(tǒng)計”課，其中有15次遲到，記 A={聽課遲到}，則 # 頻率 反映了事件A發(fā)生的頻繁程度。 ** 頻率的性質： 且 隨n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為p． (二) 概率 定義1： 的穩(wěn)定值p定義為A的概率，記為P(A)=p 定義2：將概率視為測度，且滿足： 稱P(A)為事件A的概率。 §4 等可能概型（古典概型） 定義：若試驗E滿足： S中樣本點有限(有限性) 出現(xiàn)每一樣本點的概率相等(等可能性) 例1：一袋中有8個球，編號為1－8，其中1－3 號為紅球，4－8號為黃球，設摸到每一 球的可能性相等，從中隨機摸一球， 記A={ 摸到紅球 }，求P(A)． 例2：從上例的袋中不放回的摸兩球， 記A={恰是一紅一黃}，求P(A)． 解： 例4：將n個不同的球，投入N個不同的盒中(n≤N)，設每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球數(shù)不限， 記A＝{ 恰有n個盒子各有一球 }，求P(A)． 解： 例5：一單位有5個員工，一星期共七天， 老板讓每位員工獨立地挑一天休息， 求不出現(xiàn)至少有2人在同一天休息的 概率。 解：將5為員工看成5個不同的球， 7天看成7個不同的盒子， 記A={ 無2人在同一天休息 }， 則由上例知： 例6: (抽簽問題)一袋中有a個紅球，b個白球，記a＋b＝n． 設每次摸到各球的概率相等，每次從袋中摸一球， 不放回地摸n次。 設 { 第k次摸到紅球 }，k＝1，2，…，n．求 解1： 解3： 將第k次摸到的球號作為一樣本點： 解：假設接待站的接待時間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來 訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 =0.000 000 3. §5 條件概率 例：有一批產(chǎn)品，其合格率為90%，合格品中有95%為 優(yōu)質品，從中任取一件， 記A={取到一件合格品}， B={取到一件優(yōu)質品}。 則 P(A)=90% 而P(B)=85.5% 記：P(B|A)=95% P(A)=0.90 是將整批產(chǎn)品記作1時A的測度 P(B|A)=0.95 是將合格品記作1時B的測度 由P(B|A)的意義，其實可將P(A)記為P(A|S)，而這里的S常常省略而已，P(A)也可視為條件概率 分析： 一、條件概率 定義： 由上面討論知，P(B|A)應具有概率的所有性質。 例如： 例：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為70%，余下 的30%的產(chǎn)品要調試后再定，已知調試后有80% 的產(chǎn)品可以出廠，20%的產(chǎn)品要報廢。求該廠產(chǎn) 品的報廢率。 例：某行業(yè)進行專業(yè)勞動技能考核，一個月安排一次，每人 最多參加3次；某人第一次參加能通過的概率為60%；如 果第一次未通過就去參加第二次，這時能通過的概率為 80%；如果第二次再未通過，則去參加第三次，此時能通 過的概率為90%。求這人能通過考核的概率。 例：從52張牌中任取2張，采用(1)放回抽樣，（2）不放 回抽樣，求恰是“一紅一黑”的概率。 三、全概率公式與Bayes公式 定義：設S為試驗E的樣本空間，B1，B2，…，Bn 為E的一組事件。若： 則稱B1，B2，…，Bn為S的一個劃分，或稱為一組完備事件組。 定理：設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件。B1，B2，…，Bn為S的一個劃分，P(Bi)>0，i=1，2，…，n； 則稱： * 全概率公式可由以下框圖表示： 設 P(Bj)=pj， P(A|Bj)=qj， j=1，2，…，n 易知： 例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為80%， 若甲出差，則乙出差的概率為20%；若甲不出差， 則乙出差的概率為90%。(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 例：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有5% 的假陽性及5%的假陰性：若設A={試驗反應是陽性}， C={被診斷患有癌癥} 則有： 已知某一群體 P(C)=0.005，問這種方法能否用于普查？ §6 獨立性 例：有10件產(chǎn)品，其中8件為正品，2件為次品。從中取2 次，每次取1件，設Ai={第i次取到正品}，i=1，2 注意： 例：甲、乙兩人同時向一目標射擊，甲擊中 率為0.8，乙擊中率為0.7，求目標被 擊中的概率。 例：有4個獨立元件構成的系統(tǒng)(如圖)，設每個元 件能正常運行的概率為p，求系統(tǒng)正常運行的 概率。 總結： 復習思考題 1 1.“事件A不發(fā)生，則A=Ф”，對嗎？試舉例證明之。 2. “兩事件A和B為互不相容，即AB=Ф，則A和B互逆”，對嗎？  反之成立嗎？試舉例說明之。 4. 甲、乙兩人同時猜一謎，設A={甲猜中}，B={乙猜中}， 則A∪B={甲、乙兩人至少有1人猜中}。若P(A)=0.7，P(B)=0.8， 則“P(A∪B)=0.7+0.8=1.5”對嗎？ 5. 滿足什么條件的試驗問題稱為古典概型問題？ 7.如何理解樣本點是兩兩互不相容的？ 8.設A和B為兩隨機事件，試舉例說明P(AB)=P(B|A)表示不同的意義。 10.什么條件下稱兩事件A和B相互獨立？ 什么條件下稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立？ 11.設A和B為兩事件，且P(A)≠0，P(B)≠0，問A和B相互獨立、A和B互不相容能否同時成立？試舉例說明之。 12.設A和B為兩事件，且P(A)=a，P(B)=b，問： (1) 當A和B獨立時，P(A∪B)為何值？ (2) 當A和B互不相容時， P(A∪B)為何值？ 13.當滿足什么條件時稱事件組A1，A2，…，An為樣為本空間 的一個劃分？ 14.設A，B，C為三隨機事件，當A≠B，且P(A)≠0， P(B)≠0時， P(C|A)+P(C|B)有意義嗎？試舉例說明。 15.設A，B，C為三隨機事件，且P(C)≠0， 問P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)－P(AB|C)是否成立？ 若成立，與概率的加法公式比較之。 第二章 隨機變量及其分布 關鍵詞： 隨機變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 隨機變量的函數(shù) §1 隨機變量 * 常見的兩類試驗結果： §2 離散型隨機變量及其分布 定義：取值可數(shù)的隨機變量為離散量 離散量的概率分布(分布律) 例：某人騎自行車從學校到火車站，一路上要經(jīng) 過3個獨立的交通燈，設各燈工作獨立，且設 各燈為紅燈的概率為p，0ich紅軟基地

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