這是如何求合同矩陣ppt，包括了二次型與它的標準型，實二次型與它的規(guī)范型，正定二次型與正定矩陣等內(nèi)容，歡迎點擊下載。

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  高等代數(shù)（I） Advanced Linear AlgebrauU4紅軟基地
主講教師: 高 峽 理科樓1478S   gao_m_xia@yahoo.com.cnuU4紅軟基地
助教: 鄧劍  王威楊uU4紅軟基地
大課         周三  3，4 節(jié)     理教 105uU4紅軟基地
                   周五  1，2 節(jié)     理教 105uU4紅軟基地
習(xí)題課           周三  9，10 節(jié) uU4紅軟基地
                   文史 201      三教 101uU4紅軟基地
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                  linearalg9               linearalg9uU4紅軟基地
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期末考試uU4紅軟基地
              2010 年 1 月 8 日uU4紅軟基地
              (周五) 下午 2:00uU4紅軟基地
             三教 503  505  507uU4紅軟基地
 作業(yè)：uU4紅軟基地
§5.7    1 (1) (3)，  2，  4，  7;uU4紅軟基地
§6.1    2，  3 (1) (3)，  7，  8，  11uU4紅軟基地
§6.3    4，  6(1)(2)，  7(2)，  14uU4紅軟基地
注：§5.7  1  要求計算二次型 XTA X 在uU4紅軟基地
  單位球面上的最大， 最小值，  在何處取到 ?uU4紅軟基地
§6.1  8  要求寫出二次型的規(guī)范型， 慣性指數(shù).uU4紅軟基地
第六章 二次型uU4紅軟基地
     1   二次型與它的標準型uU4紅軟基地
    2   實二次型與它的規(guī)范型uU4紅軟基地
    3   正定二次型與正定矩陣uU4紅軟基地
用矩陣表示函數(shù)uU4紅軟基地
二次齊次多項式 ( 二次型 ) :uU4紅軟基地
三次齊次多項式 ( 三次型 ) :uU4紅軟基地
三元二次型 :uU4紅軟基地
三元二次型 :uU4紅軟基地
三元二次型 :uU4紅軟基地
三元二次型 :uU4紅軟基地
三元二次型 :uU4紅軟基地
每個 n 元二次型  f  都可以唯一地寫成uU4紅軟基地
              f ( x1 ， x2 ，…， xn ) = XTA XuU4紅軟基地
每個 n 元二次型  f  都可以唯一地寫成uU4紅軟基地
              f ( x1 ， x2 ，…， xn ) = XTA XuU4紅軟基地
的形式，   A 是對稱矩陣，  X 變元列向量.uU4紅軟基地
只需將平方項系數(shù)依次寫在主對角線上，uU4紅軟基地
交叉項系數(shù)對分后對稱地寫在矩陣相應(yīng)uU4紅軟基地
位置上.uU4紅軟基地
每個 n 元二次型  f  都可以唯一地寫成uU4紅軟基地
              f ( x1 ， x2 ，…， xn ) = XTA XuU4紅軟基地
的形式，   A 是對稱矩陣，  X 變元列向量.uU4紅軟基地
對稱矩陣 A 稱為二次型的矩陣.uU4紅軟基地
                           一一對應(yīng)uU4紅軟基地
           二次型  f           對稱矩陣 AuU4紅軟基地
對 n 元二次型， uU4紅軟基地
              f ( x1 ， x2 ， … ， xn ) =  XT  A  X uU4紅軟基地
我們常做的操作是變量的非退化線性替換， uU4紅軟基地
簡稱變量替換:  uU4紅軟基地
           X = C Y ，  C 是 n 階可逆矩陣，  uU4紅軟基地
                  新變量 Y = C -1 XuU4紅軟基地
將 X = C Y 代入 n 元二次型，uU4紅軟基地
              f ( x1 ， x2 ， … ， xn ) =  XT  A  X uU4紅軟基地
            =  ( C Y )T A ( C Y ) uU4紅軟基地
            =  YT   CT A C   YuU4紅軟基地
將 X = C Y 代入 n 元二次型，uU4紅軟基地
              f ( x1 ， x2 ， … ， xn ) =  XT  A  X uU4紅軟基地
            =  ( C Y )T A ( C Y ) uU4紅軟基地
            =  YT   CT A C   Y uU4紅軟基地
   得到 Y 的二次型  g = YT  B Y ， 其對稱矩陣uU4紅軟基地
   是 B = CT A C .uU4紅軟基地
二次型的等價與矩陣的合同uU4紅軟基地
如果存在變量替換 X = C Y， 將二次型 uU4紅軟基地
  f  = XTA X 變?yōu)?g = YT B Y ，  則稱uU4紅軟基地
   二次型 f  與 g 等價.uU4紅軟基地
如果存在可逆矩陣 C ， 使得  B = CTA CuU4紅軟基地
   則稱矩陣 A 與 B 合同.uU4紅軟基地
二次型 f  = XTA X  與  g = YTB Y 等價uU4紅軟基地
           f 、g 的對稱矩陣 A 與 B 合同.uU4紅軟基地
二次型的等價滿足反身性， 對稱性， 傳遞性， uU4紅軟基地
   是全體二次型上的等價關(guān)系 .uU4紅軟基地
類似的， 合同關(guān)系也是全體 n 階矩陣上的uU4紅軟基地
    等價關(guān)系.uU4紅軟基地
對稱矩陣的合同分類問題uU4紅軟基地
  全體 n 階對稱矩陣在合同分類下被劃分成uU4紅軟基地
一個個等價類 .uU4紅軟基地
在每一合同類中選一個 ‘好’ 的 ‘ 標準 ’的uU4紅軟基地
   對稱矩陣 ( 合同標準型 ) 作為這個類的代表 ;uU4紅軟基地
合同標準型的計算 ;uU4紅軟基地
判斷兩個對稱矩陣是否合同.uU4紅軟基地
二次型的標準型uU4紅軟基地
定理 : 若  f  =  XTA X 是數(shù)域 K 上的二次型uU4紅軟基地
     則存在 K 上可逆矩陣 C 及變量替換 uU4紅軟基地
     X = C Y， 使得二次型uU4紅軟基地
                      g =   YT ( CTA C ) Y uU4紅軟基地
    只含平方項，  這樣的二次型 g 稱為 f  的uU4紅軟基地
    標準型.uU4紅軟基地
對稱矩陣的合同標準型uU4紅軟基地
  定理:  若 A 是數(shù)域 K上的對稱矩陣，  uU4紅軟基地
    則存在 K 上的可逆矩陣 C ， 使得uU4紅軟基地
                                CT A CuU4紅軟基地
   是對角矩陣.  ( 稱為 A 的合同標準型)uU4紅軟基地
注:  對稱矩陣(二次型)的標準型不唯一.uU4紅軟基地
    但標準型對角線上非零元 (平方項非uU4紅軟基地
    零系數(shù))個數(shù)唯一， 等于對稱矩陣的秩.uU4紅軟基地
化標準型的三種方式:uU4紅軟基地
實對稱矩陣正交對角化 ( 正交替換 ) ;uU4紅軟基地
若 C 是正交矩陣，  變量替換 X = C Y uU4紅軟基地
   稱為正交替換 ，  此時 Y = CT XuU4紅軟基地
例: 求正交替換 X = Q Y 將二次型 f 化標準型uU4紅軟基地
例:  二次曲面 S 在 X-坐標下的方程為uU4紅軟基地
這是一個什么曲面? 橢球面?拋物面?uU4紅軟基地
  還是雙曲面?uU4紅軟基地
思路：做直角坐標變換uU4紅軟基地
做正交替換 X = Q Y 相當(dāng)于取新的直角uU4紅軟基地
   坐標系;uU4紅軟基地
例: 二次曲面 S 在 X-坐標下方程為uU4紅軟基地
正交替換應(yīng)用最廣泛uU4紅軟基地
做正交替換 X = C Y 相當(dāng)于取新的直角uU4紅軟基地
    坐標系;uU4紅軟基地
做正交替換 X = C Y 計算二次型在單位uU4紅軟基地
   球面上的最大最小值;uU4紅軟基地
主成分分析， 矩陣 SVD 分解 …uU4紅軟基地
化標準型的三種方式:uU4紅軟基地
實對稱矩陣正交對角化 ( 正交替換 ) ;uU4紅軟基地
配方法;uU4紅軟基地
例2:   用配方法化二次型為標準型uU4紅軟基地
通過以上兩個例子，我們看到uU4紅軟基地
   定理 :    若  f  =  XTA X 是數(shù)域 K 上的 uU4紅軟基地
    n 元二次型，  則存在 K 上的可逆矩陣 C uU4紅軟基地
   及變量替換 X = C Y，  使得二次型uU4紅軟基地
        g =  ( CY )T A ( CY ) = YT ( CTA C ) Y uU4紅軟基地
   只含平方項，  這樣的二次型 g 稱為 f  的uU4紅軟基地
   標準型.uU4紅軟基地
化標準型的三種方式:uU4紅軟基地
正交替換;uU4紅軟基地
配方法;uU4紅軟基地
成對的初等行、列變換 .uU4紅軟基地
成對的初等行、列變換化標準型uU4紅軟基地
給定對稱矩陣 A ， 求可逆矩陣 P ，uU4紅軟基地
             使得 PTA P 是對角矩陣 .uU4紅軟基地
可逆矩陣都是初等矩陣的乘積uU4紅軟基地
                    P = P1 P2   PsuU4紅軟基地
   PTA P  =  PsT  P2T  P1TA P1  P2   PsuU4紅軟基地
成對的初等行、列變換化標準型uU4紅軟基地
怎樣求可逆矩陣 P ，uU4紅軟基地
        使得 PTA P 是對角矩陣 ?uU4紅軟基地
                       P   =   P1 P2   PsuU4紅軟基地
        PsT  P2T  P1T  A  P1  P2   PsuU4紅軟基地
                       P   =   I   P1  P2   PsuU4紅軟基地
先做行變換， 再做對稱的列變換， 會簡單些uU4紅軟基地
由結(jié)合律，幾個行變換可一起做uU4紅軟基地
用線性代數(shù)研究函數(shù)uU4紅軟基地
對 n 元二次型， 我們有一套成熟的理論.uU4紅軟基地
   通過變量替換可以將其變?yōu)闃藴市问?，uU4紅軟基地
   由此判斷其非負性， 在單位球面上的最大，uU4紅軟基地
   最小值…uU4紅軟基地
對大于二次的齊次多項式， 沒有這樣一套理論.uU4紅軟基地
第六章 二次型uU4紅軟基地
     1   二次型與它的標準型uU4紅軟基地
    2   實二次型與它的規(guī)范型uU4紅軟基地
    3   正定二次型與正定矩陣uU4紅軟基地
問題：uU4紅軟基地
  對 f 做不同的變量替換，得到的規(guī)范型uU4紅軟基地
 （正負慣性指數(shù)）總是一樣的嗎？uU4紅軟基地
QuizuU4紅軟基地
全體 2 階實對稱矩陣在合同關(guān)系下分成uU4紅軟基地
   幾類?uU4紅軟基地
第六章 二次型uU4紅軟基地
     1   二次型與它的標準型uU4紅軟基地
    2   實二次型與它的規(guī)范型uU4紅軟基地
    3   正定二次型與正定矩陣uU4紅軟基地
引理：等價的實二次型有相同的正定性uU4紅軟基地
證:  設(shè)實二次型  XTA X  與  YTB Y 等價， uU4紅軟基地
  即存在可逆矩陣 C ，  使得  B = CTA C .uU4紅軟基地
 若 XTA X 正定，   即     0 ，    TA  > 0 . uU4紅軟基地
 則    0 ， 有 C   0 且uU4紅軟基地
   T B    =  T  CTAC    =  ( C )T  A  C > 0 . uU4紅軟基地
                        YTB Y 也正定.uU4紅軟基地
等價的實二次型有相同的正定性uU4紅軟基地
定理： n 元實二次型  f = XTA X 正定 uU4紅軟基地
                        f 的正慣性指數(shù) = nuU4紅軟基地
證:  實二次型 f 的正定性與它的規(guī)范型一致，而規(guī)范型正定當(dāng)且僅當(dāng)正慣性指數(shù) = n .uU4紅軟基地
等價的實二次型有相同的正定性uU4紅軟基地
定理： n 元實二次型  f = XTA X 正定 uU4紅軟基地
                        f 的正慣性指數(shù) = n .uU4紅軟基地
等價的實二次型有相同的正定性uU4紅軟基地
定理： n 元實二次型  f = XTA X 正定 uU4紅軟基地
                        f 的正慣性指數(shù) = n .uU4紅軟基地
用順序主子式判定矩陣正定性.uU4紅軟基地
例：設(shè) 1  2    n 是實對稱矩陣 A 的uU4紅軟基地
       特征值，判斷 A -  I 的正定性 .uU4紅軟基地
當(dāng)  <  n 時 ， A -  I 的正定；uU4紅軟基地
 當(dāng)  >  1 時 ， A -  I 的負定；uU4紅軟基地
  ...  ...uU4紅軟基地
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