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- 數(shù)學課件PPT
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這是一個關于斐波那契數(shù)列與黃金分割課件PPT模板，這節(jié)課主要是了解兔子問題和斐波那契數(shù)列，黃金分割的定義以及黃金分割的美，人體各部分的比，著名建筑物中各部分的比，了解黃金分割點的再生性和“折紙法”等等介紹。斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數(shù)列、因數(shù)學家列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數(shù)學上，斐波納契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：F（0）=0，F(xiàn)（1）=1，F(xiàn)（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學等領域，斐波納契數(shù)列都有直接的應用，歡迎點擊下載斐波那契數(shù)列與黃金分割課件PPT模板哦。
斐波那契數(shù)列與黃金分割課件PPT模板是由紅軟PPT免費下載網(wǎng)推薦的一款數(shù)學課件PPT類型的PowerPoint.
第三節(jié) 斐波那契數(shù)列與黃金分割
我們先來做一個游戲！
十秒鐘加數(shù)
請用十秒，計算出左邊一列數(shù)的和。
十秒鐘加數(shù)
再來一次！
這與“斐波那契數(shù)列”有關
若一個數(shù)列，前兩項等于1，而從第三項起，每一項是其前兩項之和，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列。即：
一、兔子問題和斐波那契數(shù)列
1． 兔子問題
1） 問題
——取自意大利數(shù)學家
斐波那契的《算盤書》
（1202年）
(L.Fibonacci，1170-1250）
兔子問題
解答
1 月 1 對
解答
1 月 1 對
解答
1 月 1 對
解答
1 月 1 對
解答
1 月 1 對
解答
1 月 1 對
解答
1 月 1 對
解答
可以將結(jié)果以列表形式給出：
規(guī)律
兔子問題的另外一種提法：
第一個月是一對大兔子，類似繁殖；到第十二個月時，共有多少對兔子？
月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ
大兔對數(shù) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
小兔對數(shù) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
到十二月時有大兔子144對，小兔子89對，共有兔子144+89=233對。
2． 斐波那契數(shù)列
1） 公式
用 表示第 個月大兔子的對數(shù)，則有二階遞推公式
2） 斐波那契數(shù)列
令n = 1， 2， 3，… 依次寫出數(shù)列，就是
1，1，2，3，5，8，13，21，34，
55，89，144，233，377，…
這就是斐波那契數(shù)列。其中的任一個
數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。
[思]：請構(gòu)造一個3階遞推公式。
二、 相關的問題
斐波那契數(shù)列是從兔子問題中抽象出
來的，如果它在其它方面沒有應用，它就
不會有強大的生命力。發(fā)人深省的是，斐
波那契數(shù)列確實在許多問題中出現(xiàn)。
1． 跳格游戲
如圖，一個人站在“梯子格”的起點處向上跳，從格外只能進入第1格，從格中，每次可向上跳一格或兩格，問：可以用多少種方法，跳到第n格？
解：設跳到第n格的方法有 種。
由于他跳入第1格，只有一種方法；跳入第2格，必須先跳入第1格，所以也只有一種方法，從而
而能一次跳入第n格的，只有第
和第 兩格，因此，跳入第 格的方法
數(shù)，是跳入第 格的方法數(shù) ，加上跳入
第 格的方法數(shù) 之和。
即 。綜合得遞推公式
容易算出，跳格數(shù)列 就是斐波那契數(shù)列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
2． 連分數(shù)
這不是一個普通的分數(shù)，而是一個分
母上有無窮多個“1”的繁分數(shù)，我們通常
稱這樣的分數(shù)為“連分數(shù)”。
上述連分數(shù)可以看作是 中，把 的表達式反復代入等號右端得到的；例如，第一次代入得到的是
反復迭代，就得到上述連分數(shù)。
上述這一全部由1構(gòu)成的連分數(shù)， 是最簡單的一個連分數(shù)。
通常，求連分數(shù)的值，如同求無理數(shù)的值一樣，我們常常需要求它的近似值。
如果把該連分數(shù)從第 條分數(shù)線截住，即把第 條分數(shù)線上、下的部分都刪去，就得到該連分數(shù)的第 次近似值，記作 。
對照 可算得
發(fā)現(xiàn)規(guī)律后可以改一種方法算，
例如
順序排起來，這個連分數(shù)的近似值逐次為
3． 黃金矩形
1） 定義：一個矩形，如果從中裁去
一個最大的正方形，剩下的矩形的寬與長
之比，與原矩形的一樣（即剩下的矩形與
原矩形相似），則稱具有這種寬與長之比
的矩形為黃金矩形。黃金矩形可以用上述
方法無限地分割下去。
2） 試求黃金矩形的寬與長之比（也稱為黃金比）
解：設黃金比為 ，則有
將 變形為 ，解
得 ，其正根為 。
3） 與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系
為討論黃金矩形與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系，我們
把黃金比化為連分數(shù)，去求黃金比的近似值�；�
連分數(shù)時，沿用剛才“迭代”的思路：
反復迭代，得
它竟然與我們在上段中研究的連分數(shù)
一樣！因此，黃金比的近似值寫成分數(shù)表
達的數(shù)列，也是，
其分子、分母都由斐波那契數(shù)列構(gòu)成。并
且，這一數(shù)列的極限就是黃金比 。
三、 黃金分割
1． 定義：把任一線段分割成兩段，
使 ，這樣的分割叫黃金分割，
這樣的比值叫黃金比。（可以有兩個分割點）
1
2． 求黃金比
解：設黃金比為 ，不妨設全段長為
1，則大段= ，小段= 。
故有 ，
解得 ，其正根為
A B
3． 黃金分割的尺規(guī)作圖
設線段為 。作 ，且
，連 。作 交 于 ，
再作 交 于 ，則 ， 即
為 的黃金分割點。
證：不妨令 ，則 ，
， ，
證完。
4. 黃金分割的美
黃金分割之所以稱為“黃金”分割，是
比喻這一“分割”如黃金一樣珍貴。黃金
比，是工藝美術、建筑、攝影等許多藝術
門類中審美的因素之一。認為它表現(xiàn)了恰
到好處的“合諧”。
例如:
1） 人體各部分的比
肚 臍 ： （頭—腳）
印堂穴： （口—頭頂）
肘關節(jié)： （肩—中指尖）
膝 蓋： （髖關節(jié)—足尖）
2） 著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔，高（137米）與底邊長（227米）之比為0.629古希臘的巴特農(nóng)神殿，塔高與工作廳高之比為340∶553≈0.615
3） 美觀矩形的
寬長比
如國旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具）
4） 風景照片中，
地平線位置的安排
5） 正五角星中的比
6） 舞臺報幕者
的最佳站位
在整個舞臺寬度的0.618處較美
7） 小說、戲劇的
高潮出現(xiàn)
在整個作品的0.618處較好
四、 優(yōu)選法
1． 華羅庚的優(yōu)選法（“0.618法”）
二十世紀六十年代，華羅庚創(chuàng)造了并
證明了優(yōu)選法，還用很大的精力去推廣優(yōu)
選法。
“優(yōu)選法”，即對某類單因素問題，用
最少的試驗次數(shù)找到“最佳點”的方法。
例如，煉鋼時要摻入某種化學元素加大鋼
的強度，摻入多少最合適？假定已經(jīng)知道每噸鋼加入該化學元素的數(shù)量大約應在1000克到2000克之間，現(xiàn)求最佳加入量，誤差不得超過1克。最“笨”的方法是分別加入100克，1002克，…，1000克，做1千次試驗，就能發(fā)現(xiàn)最佳方案。
表面上看來，似乎這就是最好的方
法。但華羅庚證明了，每次取中點的試驗
方法并不是最好的方法；每次取試驗區(qū)間
的0.618處去做試驗的方法，才是最好
的，稱之為“優(yōu)選法”或“0.618法”。
華羅庚證明了，這可以用較少的試驗
次數(shù)，較快地逼近最佳方案。
2． 黃金分割點的再生性和“折紙法”
① 黃金分割點的再生性
即： 如果是 的黃金分割點， 是 的
黃金分割點， 與 當然關于中點 對稱。
特殊的是， 又恰是 的黃金分割點。同樣，
如果 是 的黃金分割點，則 又恰是
的黃金分割點，等等，一直延續(xù)下去 。再生
② 尋找最優(yōu)方案的“折紙法”
根據(jù)黃金分割點的再生性，我們可以設計一種直觀的優(yōu)選法——“折紙法”。
仍以上邊“在鋼水中添加某種元素”的問題為例。
把兩次試驗結(jié)果比較，如果1618克的效果
較差，我們就把1618克以外的短的一段紙條剪
去（如果1382克的效果較差，就把1382克以外
的一段紙條剪去）。
再把剩下的紙條對折，紙條上剩下的那條
線落在下一層紙的地方，再劃一條線（黃金
分割點），這條線在 1236克處。
按1236克做第三次試驗，再和1382
克的試驗效果比較，如果1236克的效果較
差，我們就把1236克以外的短的一段紙條
剪去。再對折剩下的紙條，找出第四次試
驗點是1472克。
按1472克做試驗后，與1382克的效
果比較，再剪去效果較差點以外的短的一
段紙條，再對折尋找下一次試驗點，一次
比一次接近我們的需要，直到達到我們滿
意的精確度。
注意，每次剪掉的都是效果較差點以外的短紙條，保留下的是效果較好的部分，而每次留下紙條的長度是上次長度的0.618倍。因此，紙條的長度按0.618的k次方倍逐次減小，以指數(shù)函數(shù)的速度迅速趨于0。所以，“0.618法”可以較快地找到滿意的點。
事實上，當紙條長度已經(jīng)很小時，紙條上的任一個點都可以作為“滿意”的點了，因為最優(yōu)點就在紙條上，你取的點與最優(yōu)點的誤差一定小于紙條的長。
0.618這個“黃金比”能產(chǎn)生“優(yōu)選法”，這告訴我們，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。
3． 最優(yōu)化數(shù)學
生活和生產(chǎn)中提出了大量的優(yōu)化問題，它們共同的追求目標是：最多、最快、最好、最省。這發(fā)展成一門“最優(yōu)化數(shù)學”，包括規(guī)化論（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、多目標規(guī)則、隨機規(guī)劃等）、統(tǒng)籌學、實驗設計（優(yōu)選法、多因素正交實驗法、分批實驗法），組合最優(yōu)化等等。
用導數(shù)的方法求極值是用連續(xù)的手段處理最優(yōu)化問題，優(yōu)選法“0.618法”則是用離散的手段處理最優(yōu)化問題。
應當看到，提出和解決最優(yōu)化問題，是數(shù)學應用到實踐中去的一條經(jīng)常的重要的途徑。
我們以后將要做的“找次品”趣題，也是要最大限度地發(fā)揮天平的作用，用最少的次數(shù)找出次品來，也是一個最優(yōu)化問題。
五、數(shù)學的統(tǒng)一美
數(shù)學中，“從不同的范疇，不同的途徑，得到同一個結(jié)果”的情形是屢見不鮮的。
這反映了客觀世界的多樣性和統(tǒng)一性，也反映了數(shù)學的統(tǒng)一美。
黃金分割點0.618的得到，是一個能說明問題的例子
從不同途徑導出黃金比
1． 黃金分割：線段的分割點滿足
，這一比值正是 。
2． 斐波那契數(shù)列組成的分數(shù)數(shù)列
的極限正是 。
3． 方程 的正根是
4． 黃金矩形的寬長之比正是
5． 連分數(shù) 的值正是
6． 優(yōu)選法的試驗點，正是
我們看到了數(shù)學的統(tǒng)一美。
六、 斐波那契協(xié)會和《斐波那契季刊》
1． 斐波那契協(xié)會和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盤書》中從兔子
問題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，
13，…之后，并沒有進一步探討此序列，并且
在19世紀初以前，也沒有人認真研究過它。沒
想到過了幾百年之后，十九世紀末和二十世
紀，這一問題派生出廣泛的應用，從而突然活
躍起來，成為熱門的研究課題。
有人比喻說，“有關斐波那契數(shù)列的論文，甚至比斐波那契的兔子增長得還快”，以致1963年成立了斐波那契協(xié)會，還出版了《斐波那契季刊》。
2． 斐波那契生平
斐波那契
（Fibonacci.L，1175—1250）
出生于意大利的比薩。他小時候就 對算術很有興趣。后來，他父親帶他旅行到埃及、敘利亞、希臘（拜占庭）、西西里和普羅旺斯，他又接觸到東方國家的數(shù)學。斐波那契確信印度—阿拉伯計算方法在實用上的優(yōu)越性。1202年，在回到家里不久，他發(fā)表了著名的《算盤書》。
斐波那契的才能受到弗里德里希二世
的重視，因而被邀請到宮廷參加數(shù)學競
賽。他還曾向官吏和市民講授計算方法。
他的最重要的成果在不定分析和數(shù)論
方面，除了《算盤書》外，保存下來的還
有《實用幾何》等四部著作。
3． 自然界中的斐波那契數(shù)
斐波那契數(shù)列中的任一個數(shù)，都叫斐
波那契數(shù)。斐波那契數(shù)是大自然的一個基
本模式，它出現(xiàn)在許多場合。
下面舉幾個例子。
1） 花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù)
大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)。例如，蘭花、茉利花、百合花有3個花瓣，毛茛屬的植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣，紫菀屬植物有21個花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個花瓣。
花瓣中的斐波那契數(shù)
花瓣的數(shù)目
花瓣中的斐波那契數(shù)
花瓣的數(shù)目
2）樹杈的數(shù)目
3）向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)
向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)螺線排
列的，有順時針轉(zhuǎn)和逆時針轉(zhuǎn)的兩組對數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個斐波那契數(shù)。
松果種子的排列
松果種子的排列
松果種子的排列
菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）
這一模式幾個世紀前已被注意到，此后曾被廣泛研究，但真正滿意的解釋直到1993年才給出。這種解釋是：這是植物生長的動力學特性造成的；相鄰器官原基之間的夾角是黃金角——137.50776度；這使種子的堆集效率達到最高。
4）斐波那契數(shù)與音樂
4． 科學中的斐波那契數(shù)列
1） 電路中的斐波那契數(shù)列
如下圖那樣專門設計的電路， 表示的都是1歐姆的電阻，最后一個分支中的電流為1安培，則加在電阻上的電壓（從右至左）恰好是斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…
加在電阻上的電壓，從右至左，恰是斐波那契數(shù)列 1，1，2，3，5，8，13，21，…………
2） 通過面對面的玻璃板的斜光線的 不同路線條數(shù)
反射次數(shù)為0的光線以唯一的一種路線通過玻璃板；
反射次數(shù)為1的光線可以以2種路線通過玻璃板；
反射次數(shù)為2的光線可以以3種路線通過玻璃板；
反射次數(shù)為3的光線可以以5種路線通過玻璃板；
反射次數(shù)為的光線可以以種路線通過玻璃板；
3） 股票指數(shù)增減的“波浪理論”
① 完整周期3上2下（或5上3下或3
上5下），常是相繼兩斐波那契數(shù)；
② 每次股指增長幅度（8，13等）或
回調(diào)幅度（8，5），常是相繼兩斐波那契
數(shù)。
股指變化有無規(guī)律？回答是肯定的。
1934年美國經(jīng)濟學家艾略特在通過大量資料分析、研究后，發(fā)現(xiàn)了股指增減的微妙規(guī)律，并提出了頗有影響的“波浪理論”。該理論認為：股指波動的一個完整過程（周期）是由波形圖（股指變化的圖象）上的5（或8）個波組成，其中3上2下（或5上3下），如圖，無論從小波還是從大波波形上看，均如此。
注意這兒的2、3、5、8均系斐波那契數(shù)列中的數(shù)。
同時，每次股指的增長幅度常循斐波
那契數(shù)列中數(shù)字規(guī)律完成。比如：如果某
日股指上升8點，則股指下一次攀升點數(shù)
為13；若股指回調(diào)，其幅度應在5點左
右。顯然，5、8、13為斐氏數(shù)列的相鄰三
項。
可以說，斐波那契以他的兔子問題，
猜中了大自然的奧秘，而斐波那契數(shù)列的
種種應用，是這個奧秘的不同體現(xiàn)。妙哉
數(shù)學！
5． 推廣的斐波那契數(shù)列 — 盧卡斯數(shù)列
1） 盧卡斯數(shù)列
盧卡斯（Lucas，F(xiàn).E.A. 1824-1891）
構(gòu)造了一類更值得研究的數(shù)列，現(xiàn)被
稱為“推廣的斐波那契數(shù)列”，
即從任何兩個正整數(shù)開始，往后的每
一個數(shù)是其前兩個數(shù)之和，由此構(gòu)成無窮
數(shù)列。此即，二階遞推公式
中，遞推式與前面一樣，而起始整數(shù)
可任取。
斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，…
是這類數(shù)列中最簡單的一個，起始整數(shù)
分別取為1、1。
次簡單的為1，3，4，7，11，18，…
現(xiàn)稱之為盧卡斯數(shù)列。
盧卡斯數(shù)列的通項公式是
推廣的斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列
一樣，與黃金分割有密切的聯(lián)系：該數(shù)列
相鄰兩數(shù)之比，交替地大于或小于黃金
比；并且，兩數(shù)之比的差隨項數(shù)的增加而
越來越小，趨近于0，從而這個比存在極
限；而且這個比的極限也是黃金比 。
類似于前面提到的數(shù)列
其極限也是
2） 用斐波那契數(shù)列及其推廣變魔術
① 讓觀眾從你寫出的斐波那契數(shù)列中任意選定連續(xù)的十個數(shù)，你能很快說出這些數(shù)的和。
其實有公式：這個和，就是所選出的十個數(shù)中第七個數(shù)的11倍。
1
1
2
3
5
8
13
21
34
“十秒鐘加數(shù)”的秘密
數(shù)學家發(fā)現(xiàn)：連續(xù) 10個斐波那契數(shù)之和，必定等于第 7個數(shù)的 11 倍！
“十秒鐘加數(shù)”的秘密
又例如：
② 讓觀眾從你寫出推廣的斐波那契數(shù)列中任何地方劃一條線，你能迅速說出“這條線之前所有各數(shù)”的和。
其實有公式：前 項和 =
表示盧卡斯數(shù)列的第 項。
(請大家課下自己制作)
6． 斐波那契數(shù)列的一些更深刻的性質(zhì)
1） 通項公式
一個正整數(shù)序列的通項，竟然可以用帶有無理數(shù)
的式子表達，這是十分意外的結(jié)果。
該證明由法國數(shù)學家比內(nèi)（Binet）做出。
[南開大學數(shù)學學院學生吳云輝、李明昱曾經(jīng)在
“數(shù)學文化”課的讀書報告中，給出了這一通項公式的
多個證明]
2） 斐波那契數(shù)列的后項除以前項做
成的分數(shù)數(shù)列 的極限為黃金
比的倒數(shù)
稱為第二黃金比。
即有
本節(jié)結(jié)束
謝謝
[思] 請構(gòu)造一個3階遞推公式。
答： 例如
斐波那契數(shù)列的有趣特性
數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了許多斐波那契數(shù)列的特性。例如：
從斐波那契數(shù)列體味數(shù)學文化
要善于從生活中發(fā)現(xiàn)問題
解決問題，首先要明確概念，提煉其精髓
采取合適的方法（如列表）是關鍵
善于總結(jié)，從而得出一般規(guī)律（這里，建立了二階遞推公式）
斐波那契(L.Fibonacci，1170-1250）
2） 列表解題
① 分析、抓住本質(zhì)、簡化。
題中本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生
殖的兔子，簡稱為大兔子；新生的兔子不
能生殖，簡稱為小兔子；小兔子一個月就
長成大兔子。求的是大兔子與小兔子的總
和。
2） 深入觀察規(guī)律
① 每月小兔對數(shù)=上月大兔對數(shù)。
② 每月大兔對數(shù)等于上個月大兔對數(shù)
與小兔對數(shù)之和。
綜合①②兩點，我們就有：每月大兔
對數(shù)等于前兩個月大兔對數(shù)之和。
列表觀察，不僅解答了問題，而且找
到了規(guī)律。
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