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土力學(xué) 4 課程負(fù)責(zé)人: 謝康和 浙江大學(xué)巖土工程研究所 2008 Warming-up 變形deformation 變形模量modulus of deformation 泊松比Poisson’s ratio 殘余變形residual deformation 布西涅斯克解Boussinnesq’s solution 超靜孔隙水壓力excess pore water pressure 沉降settlement 次固結(jié)系數(shù)coefficient of secondary consolidation 地基沉降的彈性力學(xué)公式elastic formula for settlement calculation 分層總和法layerwise summation method 附加應(yīng)力superimposed stress 割線模量secant modulus 固結(jié)沉降consolidation settlement 規(guī)范沉降計(jì)算法settlement calculation by specification 回彈變形rebound deformation 回彈模量modulus of resilience 回彈系數(shù)coefficient of resilience 回彈指數(shù)swelling index 建筑物的地基變形允許值allowable settlement of building 角點(diǎn)法corner-points method 明德林解Mindlin’s solution 紐馬克感應(yīng)圖Newmark chart 切線模量tangent modulus 第4章 地基中應(yīng)力計(jì)算 4.1 概述 4.2 地基中自重應(yīng)力 4.3 荷載作用下地基中附加應(yīng)力計(jì)算 4.1 概述 建筑物建造 → 地基應(yīng)力改變 → 地基變形 → 基礎(chǔ)沉降 建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)時(shí)必須計(jì)算地基變形，且必須將其控制在允許范圍內(nèi)。為此，首先要計(jì)算地基應(yīng)力。 地基應(yīng)力包括： 1、自重應(yīng)力——土本身自重引起。在建筑物建造前即存在，故又稱為初始應(yīng)力。 2、附加應(yīng)力——建筑物荷載引起。一般采用彈性理論計(jì)算。 地基應(yīng)力改變是引起建筑物基礎(chǔ)沉降的主要原因，地基的穩(wěn)定也與應(yīng)力密切相關(guān)。因此必須重視應(yīng)力的計(jì)算。 4.2 地基中自重應(yīng)力計(jì)算 假設(shè)天然地面為一無(wú)限大的水平面，地基土質(zhì)均勻，則由對(duì)稱性（任一豎直面均為對(duì)稱面）可知，在任一豎直面和水平面上，均無(wú)剪應(yīng)力存在，且在地面下任意深度 z 處a-a水平面上的豎向自重應(yīng)力 即為該水平面上任一單位面積的土柱體自重，即： 理由：由于側(cè)面無(wú)剪應(yīng)力，則任一底面積為 s 的土柱在 a—a 面上產(chǎn)生的豎向應(yīng)力為： 這表明 沿水平面均勻分布，沿深度直線分布。 均質(zhì)地基自重應(yīng)力 除豎向自重應(yīng)力外，地基中還有側(cè)向自重應(yīng)力。由于 在任一水平面上都均勻地?zé)o限分布，故地基土在自重應(yīng)力作用下只能產(chǎn)生豎向變形，而不能發(fā)生側(cè)向變形和剪切變形，即有 ， 。則由彈性力學(xué)中的廣義虎克定律有： 式中，E0為土的變形模量； 為土的泊松比。 因此，均質(zhì)地基中的任意一點(diǎn)自重應(yīng)力為： 其中 ，稱為土的側(cè)壓力系數(shù)或靜止土壓力系數(shù) 。 成層地基自重應(yīng)力 只有有效應(yīng)力，才能使土粒彼此擠緊，從而引起土體變形。而自重應(yīng)力作用下的土體變形一般均已完成（欠固結(jié)土除外），故自重應(yīng)力通常均指自重有效應(yīng)力，計(jì)算自重有效應(yīng)力時(shí)對(duì)地下水位以下土層必須以有效重度 代替天然重度 。出于簡(jiǎn)化和習(xí)慣，除非特別說(shuō)明，以后將最常用的豎向自重有效應(yīng)力簡(jiǎn)稱為自重應(yīng)力。 對(duì)于成層地基（具有成層土的地基），自重應(yīng)力計(jì)算式為： n — 從地面到深度 z 處的土層總數(shù)； — 深度 處的自重應(yīng)力，kPa； — 第i層土的天然重度，地下水位以下的土層取 ，kN/m3； hi — 第 i 層土的厚度，m。 注意點(diǎn) （1）地下水位面應(yīng)作為分界面； （2）地下水位以下如有不透水層（巖層或硬粘土層），由于不存在水的浮力，故層面及層面以下的自重應(yīng)力按上覆土層和水總重計(jì)算。 自重 (有效) 應(yīng)力也可由有效應(yīng)力原理計(jì)算。例如，先計(jì)算自重總應(yīng)力 (此時(shí)對(duì)地下水位以下土層必須采用飽和重度 )，然后計(jì)算靜止水壓力u， 則自重(有效)應(yīng)力 。 【例題4.1】 地基土層分布如下圖示，土層1厚度為3.0m，土體重度 kN/m3，飽和重度 kN/m3，土層2厚度為4.0m，土體重度 ，飽和重度 ，地下水位離地面2.0m。計(jì)算土中自重總應(yīng)力和有效應(yīng)力沿深度分別情況。 解答 【解】 先計(jì)算圖中A、B、C 和D四點(diǎn)處的總應(yīng)力和有效應(yīng)力，然后畫出分布圖。 A點(diǎn)：z = 0.0m， kPa， u = 0 kPa， = 0 kPa B點(diǎn)：z = 2.0m， kPa， u = 0 ， =37.0 kPa C點(diǎn)：z = 3.0m， kPa， u = 10.0  1 = 10 kPa， 55.8 10 = 45.8 kPa D點(diǎn)：z = 7.0m， kPa， u = 10.0  5 = 50 kPa， 130.2 50 = 80.2 kPa 地基中自重總應(yīng)力、自重(有效)應(yīng)力和靜止孔隙水壓力沿深度分布如上圖所示。 地下水位的影響 地基土形成至今一般已很長(zhǎng)時(shí)間，故如前所述，自重應(yīng)力所引起的地基變形早已發(fā)生并已穩(wěn)定，可不再考慮。但對(duì)于新近沉積土，應(yīng)考慮它在自重應(yīng)力作用下的變形。 此外，地下水位的升降會(huì)引起土中自重應(yīng)力的變化， 并導(dǎo)致地基變形： （1）水位下降（抽地下水），將使自重應(yīng)力增大，從而引起大面積地面下沉。 （2）水位上升（下雨，筑壩蓄水），將使自重應(yīng)力減少。對(duì)濕陷性土應(yīng)注意由此引起的地面下沉。 補(bǔ)充：基底壓力和基底附加壓力 基底壓力: 建筑物基礎(chǔ)底面與地基之間的接觸應(yīng)力。它既是基礎(chǔ)作用于基底地基土的壓力，同時(shí)又是地基土反作用于基底的反力。（作用力與反作用力） 　　要計(jì)算地基中由建筑物荷載產(chǎn)生的應(yīng)力，首先須知道基底壓力。 　　基底壓力與基礎(chǔ)大小、剛度、荷載大小和分布有關(guān)，這些因素使得基底壓力的分布非常復(fù)雜， 精確計(jì)算也十分困難。出于簡(jiǎn)化和實(shí)用的目的，一般將基底壓力近似為直線分布，并按材料力學(xué)中的公式計(jì)算。 一、基底壓力的簡(jiǎn)化計(jì)算 （一）中心荷載下的基底壓力 （kPa） 式中： （二）偏心荷載下矩形基礎(chǔ)的基底壓力 1、單向偏心荷載下 一般取基底長(zhǎng)邊方向與偏心一致。短邊邊緣最大和最小壓力設(shè)計(jì)值：（材料力學(xué)中的短柱偏心受壓公式） 式中: M = (F＋G)e，作用于 基底的力矩設(shè)計(jì)值；e = 偏心距； ，基礎(chǔ)底面的抵抗矩。 將M = (F+G)e代入有： 討論 (a)當(dāng)e < l/6，pmin>0，基底壓力呈梯形分布 (b)當(dāng)e = l/6，pmin=0，基底壓力呈三角形分布 (c)當(dāng)e > l/6，pmin<0，局部壓力為負(fù)，如虛線所示。但由于地基土不能承受拉力（即負(fù)壓力，此時(shí)，地基土將與基礎(chǔ)脫開(kāi)），基底壓力將重新分 布。根據(jù)偏心荷載應(yīng)與基底反力相平衡的條件，荷載 (F+G) 應(yīng)通過(guò)三角形反力分布的形心（實(shí)線，k = l/2 – e），由此有： 2．雙向偏心荷載下 基礎(chǔ)四個(gè)角點(diǎn)處壓力： 式中，Mx，My = 荷載合力分別對(duì) x 和 y 軸的力矩設(shè)計(jì)值，即： Mx = ey (F+G)，My = ex (F+G)； ； 。 二、基底附加壓力 基底附加壓力：基礎(chǔ)及上部結(jié)構(gòu)在基底平面處產(chǎn)生的新（凈）壓力。 因?yàn)榈鼗�土中存在自重�?yīng)力。因此，基底平面處的土體在建筑物建造前即已經(jīng)受了該處自重應(yīng)力（或即該平面以上上覆土重）的作用，而前面所述的基底壓力顯然包含著這部分應(yīng)力。因此，在基底壓力中扣除基底平面處原有的自重應(yīng)力，才是新增加于基底平面處的附加壓力（即凈壓力）。此即基底附加壓力 p0，故有： 其中 p = 基底的平均壓力設(shè)計(jì)值； = 基底處的自重應(yīng)力； = 基礎(chǔ)底面以上天然土層的厚度加權(quán)重度，地下水位以下取有效重度；d =基礎(chǔ)埋深，一般從天然地面算起（當(dāng) d = 0，p0 = p），但對(duì)新填土場(chǎng)地則應(yīng)從老天然地面算起。 4.3 荷載作用下地基中附加應(yīng)力計(jì)算 已知基底附加應(yīng)力，利用彈性半空間理論計(jì)算表面局部荷載作用下地基的附加應(yīng)力。這雖然是近似的，但誤差可略（對(duì)一般淺基礎(chǔ)而言）。 地基附加應(yīng)力：建筑物荷重在土體中引起的附加于原有應(yīng)力之上的應(yīng)力。即基底附加壓力在地基土中引起的應(yīng)力。 計(jì)算方法：假定地基為均質(zhì)的線彈性半空間體、不考慮基礎(chǔ)剛度（即將基底壓力視為柔性荷載）、直接利用彈性力學(xué)中的彈性半空間理論解。 實(shí)際問(wèn)題按彈性力學(xué)可分為三類： 彈性半空間理論解 1、三維問(wèn)題（集中力、矩形荷載、圓形荷載作用下） 變形：u、v、w（沿 x、y、z方向的位移） 空間問(wèn)題 應(yīng)力： 2、二維問(wèn)題（線荷載、條形荷載、梯形荷載作用下） 變形：u、v = 0、w（設(shè) y 軸為荷載長(zhǎng)度方向） 平面問(wèn)題 應(yīng)力： 墻基、路堤下地基的應(yīng)力和變形計(jì)算問(wèn)題即屬于平面問(wèn)題。 3、一維問(wèn)題（荷載均布于無(wú)限大面積上，變形僅發(fā)生在一個(gè)方向） 變形：u ＝ v = 0、w（設(shè)荷載分布于 x、y 平面） 一維問(wèn)題 應(yīng)力： x= y =K0 z 、 z 、  xy = yz =  zx = 0 地基中自重應(yīng)力的計(jì)算問(wèn)題即屬于一維問(wèn)題。 下面介紹地基附加應(yīng)力計(jì)算方法。 4.3.1 地表集中力下地基中附加應(yīng)力 雖然理論上的集中力實(shí)際上是不存在的，但集中力作用下彈性半空間地基理論解（即布辛涅斯克解）是求解其他形式荷載作用下地基中附加應(yīng)力分布的基礎(chǔ)。 （一）布辛涅斯克解（法國(guó)Boussinesq，1885） 解答（應(yīng)力） 集中力P作用下半空間內(nèi)任一點(diǎn)M（x，y，z）處的應(yīng)力分量（６個(gè)）和位移分量（３個(gè)）解答： 解答（位移） 式中： ， 土體剪切模量；E = 土體彈性模量(即變形模量)；μ＝土體泊松比； ，M點(diǎn)距荷載作用點(diǎn)（坐標(biāo)原點(diǎn)）距離； 。 從式（4.3.3）可見(jiàn)， 與土的參數(shù)E、μ無(wú)關(guān)，因此應(yīng)用很方便，在地基應(yīng)力與變形計(jì)算中應(yīng)用最廣。 注意：當(dāng) R = 0，所有應(yīng)力和位移分量均為∞，故不合理，因此選擇計(jì)算點(diǎn)不應(yīng)過(guò)于接近集中力作用點(diǎn)。 4.3.2 地面均布荷載下地基中附加應(yīng)力 本節(jié)介紹線均布荷載、條形均布荷載、矩形均布荷載和圓形均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力計(jì)算。 線荷載和條形荷載：荷載長(zhǎng)度 l→∞且沿 l 方向（即y方向）不變的荷載。 屬平面問(wèn)題：位移：u，v＝0，w；應(yīng)力: ， ， 。例如：墻基、擋土墻基礎(chǔ)、路基、壩基等對(duì)地基施加的荷載。 計(jì)算表明： ，即當(dāng) l  10b，矩形荷載就可視為條形荷載。 1、線均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力計(jì)算 — 弗拉曼（Flamant）解 線均布荷載（kN/m）即為半空間平面上均布于無(wú)限長(zhǎng)直線上的荷載，圖4-4。 沿 y 軸某微段dy上的分布荷載以集中力P ＝ pdy代替，利用布氏解式（4.3.3）可得P在任一點(diǎn)M引起的應(yīng)力： 則 (4.3.10) 式中， 。 同理利用布氏解有： 可見(jiàn)解與 y 無(wú)關(guān)，即在與 y 軸垂直的任意平面上的應(yīng)力狀態(tài)均相同。 2、條形均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力計(jì)算 條形均布荷載（kPa）如圖4-5所示。沿 x軸某微分段 上的荷載可用線荷載代之，則由式（4.3.10）可得該線荷載在M點(diǎn)產(chǎn)生的應(yīng)力即： 整個(gè)條形荷載在M點(diǎn)產(chǎn)生的附加應(yīng)力由積分法得: 附加應(yīng)力計(jì)算（續(xù)） 類似可得: 為便于工程設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)用，常將地基中附加應(yīng)力分量采用應(yīng)力系數(shù)與 p 的乘積表示，即 式中Kz，Kx，Kxz = 應(yīng)力系數(shù)，由 和 值（B = 2b）查表4-1確定。 表4-1 條形均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力系數(shù) 【例題4.2】 地基上作用有寬度為1.0m的條形均布荷載，荷載密度為200kPa，求（1）條形荷載中心下豎向附加應(yīng)力沿深度分布；（2）深度為1.0m和2.0m處土層中豎向附加應(yīng)力分布；（3）距條形荷載中心線1.5m處土層中豎向附加應(yīng)力分布。 【解】先求圖4-6中0~17點(diǎn)的x/B和z/B值，然后查條形均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力系數(shù)表4-1可得應(yīng)力系數(shù)Kz值，再由p = 200 kPa及式(4.3.11)， 即 計(jì)算附加應(yīng)力值，計(jì)算結(jié)果如表4-2和圖4-6所示。 表4-2 [例題4.2] 計(jì)算結(jié)果表 小結(jié) 從該例題計(jì)算結(jié)果可以看出： （1） 以基礎(chǔ)中軸線為對(duì)稱軸沿水平方向?qū)ΨQ分布、擴(kuò)散，分布、擴(kuò)散范圍遠(yuǎn)超出荷載寬度 。 （2）在水平方向上， 附加應(yīng)力在基礎(chǔ)中軸線上最大，向外逐漸減小。 （3）在荷載范圍內(nèi)任一垂線上， 隨深度的增大而減小。z = 0處 。 （4）在荷載范圍外任一垂線上， 先隨深度增大而后隨深度減小。z = 0處 。 （5）在荷載邊緣點(diǎn)（z =0，x ＝ ±B/2）， 不連續(xù)。 應(yīng)力泡  地基附加應(yīng)力等值線圖 即附加應(yīng)力相等的點(diǎn)的連線，可清楚表達(dá)荷載的影響范圍。 從圖4-7所示的應(yīng)力泡可見(jiàn)，若認(rèn)為 可不計(jì)，則條形均布荷載的影響寬度為荷載寬度的4倍、影響深度為荷載寬度的6倍。 此外計(jì)算還表明： 的影響范圍較淺； 的最大值出現(xiàn)于荷載邊緣，表明基礎(chǔ)邊緣最易發(fā)生破壞。 3、矩形均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力計(jì)算 1）荷載角點(diǎn)下的地基附加應(yīng)力 在荷載面內(nèi)取微元 dxdy，微元上的分布荷載以集中力P = pdxdy來(lái)代替，則由布辛涅斯克解可得角點(diǎn) O（圖4-8）下深度為 z 的M點(diǎn)處由該集中力引起的豎向附加應(yīng)力。由式（4.3.3）可得： 整個(gè)矩形荷載在M點(diǎn)產(chǎn)生的 由積分法得，即： 其中 角點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)，由 m = l /b， n = z/b 查表4-4得。 表4-4 矩形均布荷載角點(diǎn)下豎向附加應(yīng)力系數(shù)Kz1 表4-4 矩形均布荷載角點(diǎn)下豎向附加應(yīng)力系數(shù)Kz1 （續(xù)） 2）其他點(diǎn)下地基附加應(yīng)力 采用角點(diǎn)法計(jì)算：即通過(guò)計(jì)算點(diǎn)o將原矩形荷載分成若干個(gè)新矩形荷載，從而使O 成為劃分出的各個(gè)新矩形的公共角點(diǎn)，然后再根據(jù)迭加原理計(jì)算。共有以下四種情況： (a) O點(diǎn)在荷載面的邊緣： 其中KzI 、KzII 為相應(yīng)于面積Ⅰ和Ⅱ的角點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)。 (b) O點(diǎn)在荷載面內(nèi)： 當(dāng) O 位于荷載中心，則有： (故表4-3可有可無(wú))。 其中KzI 、KzII、KzIII 、KzIV 為相應(yīng)于面積 I、II、III、IV 的角點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)。 2）其他點(diǎn)下地基附加應(yīng)力（續(xù)） (c) O點(diǎn)在荷載面的邊緣外側(cè)： 荷載面（abcd）＝ 面積Ⅰ（ofbg）－ 面積Ⅱ（ofah） + 面積Ⅲ（oecg）－ 面積Ⅳ（oedh） 則： (d) O點(diǎn)在荷載面的角點(diǎn)外側(cè) 荷載面（abcd）＝ 面積Ⅰ（ohce）－ 面積Ⅱ（ohbf） － 面積Ⅲ（ogde）+ 面積Ⅳ（ogaf） 則： 必須注意: 在角點(diǎn)法中，查附加應(yīng)力系數(shù)時(shí)所用的 l 和 b 均指劃分后的新矩形（如ofbg、ohce等）的長(zhǎng)和寬。 4．圓形均布荷載作用下地基中附加應(yīng)力計(jì)算 設(shè)圓形均布荷載作用面半徑為R，荷載密度為p，采用圓柱坐標(biāo)，如圖4-11所示。地基中任意點(diǎn)M（θ，r，z）處的應(yīng)力分量表達(dá)式如下： 式中 Kz = 圓形均布荷載作用下的附加應(yīng)力系數(shù)，由r/R 和z/R值查表4-5確定。 特別當(dāng)r = 0 (即在圓形荷載作用面中心點(diǎn)以下)，地基中豎向應(yīng)力可表為： 表4-5圓形均布荷載作用下的應(yīng)力系數(shù) 4.3.3 地面上作用有三角形和梯形分布荷載地基中附加應(yīng)力計(jì)算 1、地面上作用有三角形分布荷載地基中附加應(yīng)力計(jì)算 三角形分布（矩形）荷載（kPa）如圖4-12所示，荷載密度 p 沿 x 方向線性變化，即 ，則微面積 dxdy 上的微集中荷載 。它在角點(diǎn)1（即x = 0， p = 0 處）引起的附加應(yīng)力為： 附加應(yīng)力表達(dá)式 整個(gè)三角形分布荷載在角點(diǎn) 1 引起的附加應(yīng)力為 ： 同理可得，角點(diǎn) 2（即x = B， p = p0處）附加應(yīng)力： 式中Kz1和Kz2為三角形分布荷載角點(diǎn) 1 和 2 下的附加應(yīng)力系數(shù)，由L/B和 z/B 查表4-6得到。 注意：B = 沿三角形荷載分布方向的邊長(zhǎng)，而不一定是矩形的短邊。 對(duì)于三角形分布條形荷載，附加應(yīng)力系數(shù)Kz1和Kz2可查表4-6中L/B = 10所對(duì)應(yīng)的值。 表4-6 三角形分布的矩形荷載角點(diǎn)下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)Kz1和Kz2 表4-6 三角形分布的矩形荷載角點(diǎn)下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)Kz1和Kz2 （續(xù)1） 表4-6 三角形分布的矩形荷載角點(diǎn)下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)Kz1和Kz2 （續(xù)2） 2、梯形分布荷載地基中附加應(yīng)力計(jì)算 對(duì)于梯形分布的矩形荷載（kPa），可運(yùn)用迭加原理求附加應(yīng)力，如圖4-13所示。 4.3.4 地基中作用一集中力時(shí)地基中附加應(yīng)力計(jì)算 當(dāng)一集中力作用于地基內(nèi)時(shí)，地基中附加應(yīng)力計(jì)算可采用彈性理論中半無(wú)限彈性體內(nèi)作用一豎向集中應(yīng)力時(shí)的明德林（R.D. Mindlin，1936）解。如圖4-14設(shè)置坐標(biāo)系，距表面距離 c 處作用一個(gè)集中力P。 地基中附加應(yīng)力表達(dá)式 地基中附加應(yīng)力表達(dá)式（續(xù)1） 地基中附加應(yīng)力表達(dá)式（續(xù)2） 4.3.5 關(guān)于地基中附加應(yīng)力計(jì)算的簡(jiǎn)要討論 彈性理論解：地基均質(zhì)、各向同性、半空間體。 地基實(shí)際情況：非均質(zhì)、各向異性、成層且厚度有限。 計(jì)算表明: 采用彈性理論解計(jì)算附加應(yīng)力對(duì)大多數(shù)天然地基來(lái)說(shuō)基本可滿足工程應(yīng)用要求，但誤差也是實(shí)際存在的。討論如下。 1. 雙層地基 雙層地基如圖4-16所示，其中曲線1為均質(zhì)地基的豎向附加應(yīng)力分布曲線。 上硬下軟：應(yīng)力擴(kuò)散，h1越大越顯著，上下土層模量相差越多越顯著（曲線2）。 上軟下硬：應(yīng)力集中，h1越小越顯著（曲線3）。 討論（續(xù)） 2. 非均質(zhì)地基 當(dāng)變形模量隨深度增大， 將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。 3. 橫觀各向同性地基 當(dāng)水平向變形模量Eh > 豎向變形模量Ev，將發(fā)生應(yīng)力擴(kuò)散現(xiàn)象。 當(dāng)Eh < Ev，將發(fā)生應(yīng)力集中。 附加應(yīng)力計(jì)算總結(jié) 計(jì)算公式 (由 Boussinesq 解積分得到） ( p 為基底附加壓力) 最后均歸結(jié)為查表求 K 值。 作 業(yè) P.75 習(xí)題與思考題 4.3 4.7 4.86EA紅軟基地

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